PORTFOLIO

Das Forschungsgebiet dieses Projektes ist ein kleiner Teil der modernen Mathematik. Dadurch wird die Darstellung des Projektinhaltes schnell sehr anspruchsvoll. Ein guter Zugang zu der eher schwierigen Materie ist die Schilderung eines fiktiven Fallbeispiels aus der Ingenieurspraxis. Aus diesem Beispiel heraus wird im folgenden Text der Kern des Projektes leicht verständlich, aber trotzdem mathematisch korrekt entwickelt.

Konkretes Beispiel: Kühlung von Computerprozessoren
Moderne Computer werden von Jahr zu Jahr leistungsfähiger. Ihre Prozessoren verfügen über eine immer grösser werdende Anzahl elektronischer Schaltkreise. Durch physikalische Gegebenheiten wird die von den Schaltkreisen aufgenommene elektrische Energie nur zu einem kleinen Teil in Rechenleistung umgewandelt, der grösste Teil wird jedoch zu Wärme. Dies ist zwar ineffizient, aber es gibt zusätzlich noch ein viel grösseres Problem: Kann man die Wärme nicht in ausreichendem Masse ableiteten, führt der Wärmestau unweigerlich zur Zerstörung, d. h. zum Druchbrennen des Prozessors.

Die Form des Kühlkörpers beeinflusst dessen Wirksamkeit
Um dem unerwünschten Wärmestau entgegenzuwirken, versieht der Konstrukteur eines Computers den Prozessor mit einem Kühlkörper, der ähnlich wie ein Heizkörper aufgebaut ist und über Rippen verfügt, die seine Oberfläche vergrössern. Die Form und Oberfläche des Kühlkörpers bestimmen dabei in hohem Masse seine Wirksamkeit. Natürlich ist es viel zu aufwendig, die optimale Form in praktischen Versuchen mit eigens gefertigten Bauteilen zu ermitteln. Man ist daher sehr daran interessiert, das Problem zu simulieren und allein mit Hilfe numerischer Berechnungen die optimale Form zu ermitteln.

Simulation des Wärmeflusses mittels partielle Differentialgleichungen
Die Ableitung der Wärme wird durch eine mathematische Gleichung beschrieben. Die Lösung dieser Gleichung ist eine mathematische Funktion, die wiederum von verschiedenen Veränderlichen abhängt: Zum einen ist die Temperatur im Kühlkörper nicht konstant, sondern sie nimmt von der Trennfläche zwischen Prozessor und Kühlkörper in Richtung der freien Oberfläche des Kühlkörpers ab, zum anderen variiert die Temperatur mit der Zeit. Mathematisch gesprochen handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung, die so genannte Wärmeleitungsgleichung. Zu dieser Gleichung gibt es verschiedene numerische Lösungsverfahren. Bei all diesen Verfahren spielt der Begriff der Diskretisierung eine wesentliche Rolle: Theoretisch müsste man an allen Stellen des Kühlkörpers zu allen Zeitpunkten eines gegebenen Zeitintervalls die aktuelle Temperatur berechnen. Dies ist natürlich nicht möglich, weil Computer nicht mit unendlich vielen Grössen umgehen können. Man beschränkt sich daher auf endlich viele Punkte im Kühlkörper und betrachtet auch nur endlich viele Zeitpunkte. Diesen Prozess nennt man Diskretisierung.

Diskretisierung partieller Differentialgleichungen führt zu Gittern
Bei der Diskretisierung des Problems nimmt man kleine Fehler in Kauf. Wichtig ist einerseits, eine Abschätzung über die Grösse dieser Diskretisierungsfehler zu haben und andererseits durch geschickte Wahl der Messpunkte in Ort und Zeit die Diskretisierungsfehler klein zu halten. Stellt man sich vor, dass benachbarte Messpunkte im Kühlkörper durch Linien verbunden werden, erhält man ein sogenanntes Gitter. Die Maschen dieses Gitters müssen nicht überall die gleiche Grösse aufweisen, vielmehr erhält man bei der numerischen Berechnung die besten Ergebnisse, wenn man im Bereich grosser Temperaturänderungen die Maschenweite klein hält. Im Bereich geringer Temperaturänderungen hingegen wählt man die Maschenweite möglichst gross, um den notwendigen Rechenaufwand und damit die für die Simulation benötigte Zeit möglichst gering zu halten. Die Wahl des Gitters beeinflusst also die Qualität der Rechenergebnisse, und umgekehrt beeinflussen die Ergebnisse der Simulation die Gestalt des Gitters.

Gitter und ihr Einsatz bei der Simulation
In der Praxis gibt es heute eine Vielzahl von Methoden zur Generierung eines optimalen Gitters, die jedoch hochspezialisiert sind und daher nur bei wenigen Problemstellungen zum Ziel führen. Oft werden die Gitter auch von erfahrenen Spezialisten gewissermassen „von Hand“ gestaltet. Eine automatische Erzeugung geeigneter Gitter für eine möglichst grosse Familie ähnlicher Probleme ist daher wünschenswert. Um in unserem Beispiel zu bleiben: Der Konstrukteur hat einen Kühlkörper entworfen und eine Simulation der Wärmeableitung berechnet. Dazu hat er ein Gitter entworfen, das an die Gestalt des Kühlkörpers optimal angepasst ist. Die Simulation ergibt, dass der Kühlkörper insgesamt zu wenig Wärme ableitet. Zusätzlich wird er an einer Stelle viel zu heiss. Der Konstrukteur muss nun den Kühlkörper vergrössern, damit die Wärmeabfuhr insgesamt besser wird, und zusätzlich noch dessen Form ändern, um die Wärmekonzentration an der heissen Stelle zu vermeiden. Um die Wirksamkeit seiner Korrekturen zu überprüfen, wird er eine neue Simulation durchführen. Das alte Gitter ist allerdings für die neue Simulation nicht geeignet und muss deshalb neu gestaltet werden.

Automatische Gittergenerierung (AutoGrid)
Unser Projekt befasst sich mit der Fragestellung, wie man bei der Behandlung praktischer Probleme aus den Ingenieurwissenschaften mittels partieller Differentialgleichungen die notwendigen Gitter (engl. Grid) automatisch generieren kann. Durch Lösung der Differentialgleichungen lassen sich die Konsequenzen der ingenieurmässigen Konstruktion numerisch bestimmen. Die Ergebnisse dieser Simulation führen zu Konstruktionsänderungen. Die Gitter, welche für weitere Simulationsschritte notwendig sind, sollen wiederum automatisch berechnet werden. Durch eine rasche Abfolge solcher Konstruktionszyklen wird die optimale Konstruktion innert nützlicher Frist gefunden. Wir erwarten, dass durch dieses Vorgehen die Länge der einzelnen Konstruktionszyklen stark verkürzt werden kann und so die „time to market“, die heute eine stark erfolgsbestimmende Grösse darstellt, drastisch verringert werden kann.

Künftige strategische Forschungsziele
Zusammen mit unseren Projektpartnern wollen wir in ersten Fallbeispielen aus der Praxis die Wirksamkeit unserer Methoden abschätzen. Mit den Ergebnisse dieses Projektes und weiterer Folgeprojekte wollen wir als Fachhochschule eine wichtige Scharnierfunktion zwischen universitärer Forschung und Anwendung dieser Forschung zur Lösung industrieller Probleme auf- und ausbauen.

Die Gebert Rüf Stiftung unterstützt durch die Finanzierung des Projekts AutoGrid das neu gegründete Zentrum für angewandte Mathematik und Physik der Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften beim Aufbau einer im Schweizer Fachhochschulkontext einmaligen Forschungsgruppe, welche ihre Tätigkeiten einerseits auf den Einsatz von Numerik und Methoden der angewandten Mathematik im Engineering Prozess und andererseits auf den entsprechenden Wissenstransfer in der Lehre fokussiert.

Eine 2D Version von AutoGrid steht dem interessierten Publikum als Open Source zur Verfügung. Diese Version soll einerseits auf Hochschulstufe in der Lehre die Thematisierung der Gittergenerierung ermöglichen und andererseits in Forschung und Entwicklung als Werkzeug für die rasche Erzeugung von Gittern dienen. In dieser 2D Version wird deswegen viel Gewicht auf leichte Handhabung gelegt. Das Design komplexer Geometrien wird durch die Darstellung in Patches allgemein zugänglich gestaltet. Die Deformation der Geometrie erfolgt interaktiv durch den Benutzer. Die Gitter werden praktisch unmittelbar generiert und visualisiert. Beispiele aus dem Ingenieurwesen erlauben das Austesten der generierten Gitter. Ein Prototyp der 2D Version ist unter autogrid.dyndns.org/AutoGrid/ allgemein zugänglich. Für Rückmeldungen jeglicher Art ist das Projektteam dankbar.

Eine 3D Version von AutoGrid wurde vom Institute of Computational Physics (ICP) der ZHAW in das institutseigene FEM-Tool SESES implementiert und vom Industriepartner NM Numerical Modelling GmbH (Thalwil) bereits in der Praxis angewandt. Ausgangspunkt für den Industriepartner für eine Teilnahme am Projekt war das Bedürfnis, technisch nutzbare FE-Maschen auf automatische Weise in parametrisierter Form zu generieren. Diese Methode zur Erzeugung von FE-Gittern steht «orthogonal» zum heute üblichen Vorgehen, wo via FE-Preprocessing aus CAD-Datensätzen die zu simulierende Struktur in eine Masche überführt wird. NM Numerical Modelling GmbH möchte dagegen die Geometrie in parametrisierter Form erstellen, damit Ingenieure ohne vertiefte FE-Kenntnisse unkompliziert Simulations-rechnungen durchführen können. Bisher geschah die parametrische Maschenerzeugung bei NM Numerical Modelling GmbH auf analytische Art. Dies erforderte viel Erfahrung und Zeit.

Die Umsetzung der Autogrid-Projektergebnisse im Rahmen von SESES erlaubt es nun, auf vergleichsweise einfache Art, selbst komplexe Formen parametrisch zu generieren. Dabei muss lediglich noch der Rand eines Objekts mathematisch formuliert werden, während früher die Transformation im ganzen Raum, sowie im Innern und Äussern des Objekts definiert werden musste. Dies erhöht die Flexibilität derartiger Modelle entscheidend. Weiter ist die Qualität der so erzeugten Maschen sehr gut und via CAD / Preprocessing generierten Maschen häufig überlegen. Letztlich besteht und eine Reihe von «Stellschrauben», d.h. Numerische Parameter, mit welcher die Autogridmethode je nach Verwendungszweck weiter optimiert werden kann.

noch keine

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